Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Matrik

-


Ada beberapa cara untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) menggunakan matrik, yaitu:

  • Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah 
  1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
  2. Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
  3. Dibawah 1 utama harus nol.

  5. Contoh 1


  8.  tentukan pemecahan SPL :
                X  +  y  + 2z = 9
                2x + 4y – 3z = 1
                3x + 6y – 5z = 0
    Dengan cara  :
       Eliminasi gauss

    Jawab :

    Matriks ekuivalen dengan  SPL  di atas adalah :
    Bentuk matrik yang diperbesar dari SPL tersebut adalah :
    A. Eleminasi Gauss
    Bentuk matriks eselon baris (yang ditulis terakhir) kita ubah kembali dalam system persamaan linear menjadi :
            x  +  y  + 2z = 9
            y  –  7/2 z    = -17/2
            z  = 3
    dengan cara subtitusi balik kita peroleh x dan y :
    untuk z = 3
    maka : y – 7/2 z = -17/2
                                  y = -17/2 + 7/2 z
                                  y = - 17/2 + 21 /2
                                  y = 4/2
                                  y = 2
    untuk y =2 dan z =3  maka : x + y  + 2 z  = 9
                                              x = 9 – y – 2z
                                              x = 9 – 2 – 6
                                              x = 1
    jadi pemecahan untuk SPL  di atas adalah x = 1, y = 2 , dan z , 3




Contoh 2
Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini menggunakan metode eliminasi gauss!
Jawab:
Pertama, kita harus meerubah persamaan diatas menjadi sebuah matrik, sehingga diperoleh
Karena pada baris 1 kolom 1 bernilai 0, maka tukar baris 1 dan baris 2 dan diperoleh
  • Metode Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah
1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Contoh 1

 tentukan pemecahan SPL :
            X  +  y  + 2z = 9
            2x + 4y – 3z = 1
            3x + 6y – 5z = 0


Dengan cara  :

Eleminasi gauss Jordan
Jawab :

Matriks ekuivalen dengan  SPL  di atas adalah :
Bentuk matrik yang diperbesar dari SPL tersebut adalah :

Untuk mencari matriks eselon baris terreduksi maka setelah kita memperoleh matriks eselon bariss diperlukan langkah tambahan berikut:
Matrik ini berbentuk matriks eselon baris terreduksi yang dapat  dituliskan kembali ke dalam bentuk SPL  sebagai berikut :
X1  = 1 ;  x2  = 2 ; x3 = 3
Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah : X1  = 1 ;  x2  = 2 ; x3 = 3





Contoh 2
Selesaikan sistem persamaan linear dibawah ini menggunakan metode gauss jordan!
Jawab:
Pertama, kita harus meerubah persamaan diatas menjadi sebuah matrik, sehingga diperoleh
Karena pada baris 1 kolom 1 bernilai 0, maka tukar baris 1 dan baris 2 dan diperoleh

  • Metode Cramer

    Berikut ini adalah penjelasan cara menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metoda cramer. Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

    X1 = det (A1) / det (A)X2 = det (A2) / det (A)


    Xn = det (An) / det (A)

    Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.

    Contoh : gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :
    -x1 + x2 + 2x3 = -5
    2x1 - x2 + x3 = 1
    x1 + x2 - x3 = 5
    jawab :

    bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :

    Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :

    Det A = {(-1).(-1).(-1)+ 1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}
    ={ (-1 + 1 + 4) – (-2 + (-1) + (-2)} = { 4 – (-5)} ={ 4 + 5} = 9

    Det A1 =

    Det A1 = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10 + (-5) + (-1) ) = 2 + 16 = 18

    Det A2=

    Det A2= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9

    Det A3=

    Det A3= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18
    Sehingga diperoleh :
    X1= Det (A1 )/ Det (A) = 18 /9 = 2
    X2 = Det (A2 )/ Det (A) = 9 / 9 = 1
    X3 = Det (A3 )/ Det (A) = -18 / 9 = -2
    Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah :

    X1= 2 , X2= 1 , X3= -2


#semoga bermanfaat#

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Nilai Eigen & Vektor Eigen serta Diagonalisasi

-
Gambar
Nilai & Vektor Eigen contoh: penyelesaian: Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l sedemikian rupa sehingga, A x  =  l x l  disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l.  Contoh :  Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari : yang bersesuaian dengan nilai eigen,  l = 3, karena : Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah A x  =  l x   sebagai ,                                    A x  =  l.I. x                          ( l I – A) ...
Baca selengkapnya

Ruang Vektor, Kombinasi Linear, Membangun Ruang, dan Bebas Linear

-
Gambar
Ruang -N Euclides Orang yang pertama kali mempelajari vektor-vektor di  R n  adalah Euclides sehingga vektor-vektor yang berada di ruang  R n  dikenal sebagai vektor Euclides sedangkan ruang vektornya disebut ruang n–Euclides. Jika  n  sebuah bilangan bulat positif, maka  n- pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan  n bilangan real ( x 1 , x 2 ,…, x n ). Himpunan semua  n -pasangan bilangan berurut dinamakan ruang- n Eucides dan dinyatakan dengan  R n . Definisi. Misalkan  u =[ u 1 , u 2 ,…, u n ];  v =[ v 1 , v  2 ,…, v n ] vektor di R n . u  =  v   jika   hanya   jika   u 1  =  v 1 ,  u 2   =  v 2 ,…,  u n  =  v n u  +  v  =  [ u 1  +  v 1 ,  u 2  +   v 2 ,…,  u n  +   v n  ] k u  = [k u 1 , k u 2 ,…, k u n ] u •v  =  u 1 v 1  +  u 2 v 2 ...
Baca selengkapnya
-
Gambar
Operasi Baris Elementer (OBE)  Pengertian Operasi Baris Elementer (OBE) merupakan suatu operasi yang diterapkan pada baris suatu matriks. OBE bisa digunakan untuk menentukan invers suatu matriks dan menyelesaikan suatu sistem persamaan linear (SPL). Langkah - Langkah dalam Operasi Baris Elementer (OBE) 1) Pertukaran Baris 2) Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3) Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta  tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.
Baca selengkapnya