Aljabar linier matriks determinan

MATRIKS DAN DETERMINAN

Pengertian matriks
Matriks adalah suatu bilangan real berbentuk empat persegi panjang yg di batasi oleh tanda kurung
Jenis- jenis matriks
1. Matriks Baris
    Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A =  ( 1   3   4   9)

2. Matriks Kolom
    Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
    Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai  jumlah baris = jumlah kolom

4. Matriks Nol
    Matriks Nol adalah Suatu matriks   yang setiap unsurnya 0 berordo  ,ditulis dengan huruf  O.

5. Matriks Segi Tiga
    Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

6. Matriks Diagonal
    Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

7. Matriks Skalar
    Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama. 

8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan 
    Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf  I.

   
I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4


9. Matriks Simetris 
    Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga  .

  Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.

10. Matriks Mendatar 
      Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .

11. Matriks Tegak 
      Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

12. Matriks Transpos ( notasi At )

      Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A.

   Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

Sifat-sifat matriks transpos
      1) ( A + B )t = At + Bt
      2) ( At )t = A
      3) ( AB )t =  Bt At

Pengertian Determinan

Determinan adalah suatu bilangan real yang diperoleh dari suatu proses dengan aturan tertentu terhadap matriks bujur sangkar.

 Sifat-Sifat Determinan

1. Jika setiap elemen suatu baris atau kolom dari suatu matriks bujur sangkar A bernilai nol, maka det (A) = 0.

2. Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka det (A) = det (A^T).

3. Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom pada determinan dari matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, maka k bisa dikeluarkan dari tanda determinan, atau : det(kA) = k.det(A).

4. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan dua baris atau dua kolom, maka det(B) = - det(A).

5. Jika dua baris atau kolom matriks A identik, maka det(A) = 0 Dua matriks dikatakan identik , jika suatu baris merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real) dari baris yang lain, atau suatu kolom merupakan hasil kali dengan skalar k ( di mana k anggota bilangan real) dari kolom yang lain.

6. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang mempunyai ukuran sama, maka det(AB) = det(A) det(B).

Cara Menentukan Nilai Determinan

Matriks berordo 2 x 2
Matriks berordo 3 x 3
Matriks berordo n x n 

 1. Menentukan nilai determinan matriks berordo 2 x 2



2. Menentukan nilai determinan matriks berordo 3 x 3 dengan Aturan Sarrus

  

3. Menentukan determinan matriks n x n dengan matriks Kofaktor

 a. Minor dari suatu matriks bujur sangkar A adalah harga determinan sub matriks yang tetap, setelah menghilangkan baris ke i dan kolom ke j. Minor dari baris ke i dan kolom ke j, dinotasikan dengan M_ij.

 b. Kofaktor dari suatu matriks bujur sangkar dilambangkan dengan cij, yaitu c_ij = (-1)^i+j M_ij

Ada 2 cara, yaitu :

* Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke i : det(A) = a_i1c_i1 + a_i2c_i2 + … + a_inc_in

* Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ke j : det(A) = a_1jc_1j + a_2jc_2j + … + a_njc_nj

Contoh Soal:

A =  tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

Jawab:

det(A) =  = 1 - 2 + 3= 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8